Aplicações da Semelhança de Triângulos

Por volta de 600 a .C. Tales de Mileto ( 640 a .C. - 550 a .C.) surpreendeu o faraó Amasis por se ter oferecido para determinar a altura da pirâmide de Quéops, sem ser necessário escalá-la.

Tales procedeu do seguinte modo: foi até a extremidade da sombra projectada pela grande pirâmide e cravou uma estaca no solo na vertical. A altura da pirâmide e a sua sombra seriam os lados de um triângulo rectângulo e o mesmo aconteceria com a estaca e a sua sombra.

Tales tinha consciência de que o método que acabara de utilizar era geral e podia ser empregue em muitas outras situações.

É possível determinar a altura “h” de uma montanha usando duas sombras de uma vareta de comprimento “v”.

Primeira sombra - h: v = d : s1

Segunda sombra - h: v = ( d + e + s2 ) : s2

E assim se obtém: d = s1( e + s2 ) /( s2 - s1 )

Triângulos semelhantes

Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm os ângulos respectivamente iguais e os lados homólogos proporcionais.


Porém, para se afirmar que dois triângulos são semelhantes, basta que se verifiquem apenas uma das condições ou  Critérios de Semelhança de Triângulos:




1º- Dois triângulos com os três lados proporcionais (ou os três ângulos iguais) são semelhantes.

2º- Dois triângulos com dois ângulos iguais são semelhantes.

Particularidades:
- Dois triângulos rectângulos que têm um ângulo agudo igual são semelhantes.
- Dois triângulos equiláteros são semelhantes.
- Dois triângulos isósceles que têm os ângulos opostos às bases iguais são semelhantes.
- Dois triângulos semelhantes a um terceiro são semelhantes entre si.





3° - Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual são semelhantes.

Triângulos semelhantes

Ano Novo, novas atitudes ....

Iniciamos o segundo período, e tenho notado um empenho generalizado que espero perpetuar-se ao longo da vossa vida, peço-vos novamente para reverem no blogue toda a matéria relacionada com o Teorema de Pitágoras, têm vários links para consultar com exercícios....e não se esqueçam ...Ano Novo, novas atitudes...Bom estudo!!!

Boas Festas

Desejo-vos umas boas férias, aproveitem o vosso tempo para se divertir e descansar...

Provaram no final do período, que são um verdadeiro grupo e que a vossa capacidade é ilimitada quando traçam um objectivo e vencem um desafio...
Estou deveras muito orgulhosa do vosso trabalho e sei que no próximo ano 2010, que está quase a chegar, vai ser um ano de sucesso para todos vós, pois vão de certeza  dar continuidade ao vosso empenho...

Boas Festas!!!!!

exercícios resolvidos de aplicação do Teorema de Pitágoras

Nas postagens anteriores  observaste a demonstração do teorema de Pitágoras. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do mesmo e em seguida, poderás resolver alguns exercícios propostos no link dos exercícios.





Exemplo 1:
Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são rectângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.



Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

a)

logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

b)

logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.



Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:


a)

b)

Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

Exemplo 3:
Qual era a altura do poste?

Resolução:

Altura do poste é  4 (poste em pé) + 5 (poste partido)



Resposta: A altura do poste era de 9 m.





Exemplo 4:
O Pedro e o João estão a «andar» de baloiço, como indica a figura:

A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento do baloiço?



Resolução:

Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.



Então vem:
1,8 m = 180 cm

Resposta: O comprimento do baloiço é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez pelo filósofo grego Pitágoras, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo rectângulo. Existe uma mnemónica muito utilizada para aprender o teorema, cujo enunciado coincide com a segunda parte da mnemónica:


"ao chegar a Siracusa, Pitágoras disse a seus netos o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos"

Matematicamente, se c designar a hipotenusa e a e b os catetos, concluímos que:

H² = cateto² + cateto²

ou seja, C² = A² + B²

Existem centenas de demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Na verdade ele é o que possui mais demonstrações de todos os teoremas da matemática!


Demonstrações para o Teorema de Pitágoras

Quadrados perfeitos (para o Vicente)

Os quadrados perfeitos são os números que se obtêm quando se multiplica um número natural por ele próprio, ou seja, quando se eleva ao quadrado (a 2) um número natural.

A cada um dos quadrados perfeito pode ser associado um quadrado, cuja medida do lado é um número natural, e a medida da área o quadrado perfeito.

Qual é o quadrado perfeito seguinte na sequência?

é para pensarem ......

Para praticares, calcula as seguintes raízes, utilizando a máquina de calcular:
a) √ 8100

b) √ 40.000

c) √ 400

d) √121

e) √144

f) √169

g) √225

h) √625

i) √2500

 
 
Podes verificar  se as tuas  respostas  estão correctas
 
 
 
Respostas:
 a) 90;    b) 200;    c) 20;    d) 11;    e) 12;    f)13;    g) 15;    h) 25;    i) 50

Dicas e truques para facilitar os cálculos...

•   DICA 1 -  Multiplicar um número por 9

Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial.

 Vamos efectuar , por exemplo, a seguinte multiplicação: 44 x 9.

Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440.

Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396.

Portanto 44 x 9 = 396.

Outros exemplos:

27 x 9 = 270

270-27 = 243.

56 x 9 = 560

560-56 = 504.

33 x 9 = 330

330-33 = 297.

• DICA 2 -  Multiplicar um número por 10

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.
Exemplo 1:           16 x 10 = 160

Exemplo 2:            15,567 x 10 = 155,67

• DICA 3 - Dividir um número por 10
  

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda.

Exemplo 1:        16 : 10 = 1,6

Exemplo 2:        15,567 :10 = 1,5567

• DICA 4 - Multiplicar um número por 11

Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles.

Por exemplo, vamos efectuar a seguinte multiplicação: 26 x 11
Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8.
 Agora é só colocar esse 8 no meio deles:

A resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.

Outros exemplos:

     34 x 11=
somamos os algarismos do número 34: 3+4=7
colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374.

   81 x 11=
somamos os algarismos do número 81: 8+1=9
colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 891.

  37 x 11=
somamos os algarismos do número 37: 3+7=10
como deu um número  maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407.

Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos.

Por exemplo, vamos efectuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.
Temos o número 135.
Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4.
Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8.

 Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio ou seja, 1485.
Portanto 135 x 11 = 1485.

• DICA 5 -  Multiplicar um número por 99

Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial.

Vamos efectuar a seguinte multiplicação: 44 x 99.
Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356.

Portanto 44 x 99 = 4356.


Outros exemplos:

27 x 99 = 2700
2700-27 = 2673

56 x 99 = 5600
5600-56 = 5544

33 x 99 = 3300
3300-33 = 3267

 
 

• DICA 6 -  Multiplicar um número por 101

Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB.

Alguns exemplos:

AB x 101 = ABAB

43 x 101 = 4343

32 x 101 = 3232

14 x 101 = 1414

• DICA 7 -  Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10.
  

Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método:

4 2 x 4 8   ---   algarismo das dezenas é igual (4)  e a soma dos algarismos das unidades é 10 (2+8)

5 3 x 5 7  ---  algarismo das dezenas é igual (5) e a soma dos algarismos das unidades é 10 (3+7) 

2 1 x 2 9---    algarismo das dezenas é igual (2) e a soma dos algarismos das unidades é 10 (1+9)

3 5 x 3 5 ---   algarismo das dezenas é igual (3) e a soma dos algarismos das unidades é 10 (5+5)

8 7 x 8 3---    algarismo das dezenas é igual (8) e a soma dos algarismos das unidades é 10 (7+3)

9 4 x 9 6---   algarismo das dezenas é igual (9) e a soma dos algarismos das unidades é 10 (4+6)

     etc.

Devem ser seguidos os seguintes passos:

1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele;

2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;

3) Juntamos as duas partes.

Exemplo:

Vamos efectuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:

Passo 1:

5x6 = 30

Passo 2:

3x7 = 21

Passo 3:

Juntamos os dois números: 3021.

Portanto 53 x 57 = 3021.

Outro exemplo: 94 x 96:

Passo 1:    9x10 = 90

Passo 2:    4x6 = 24

Passo 3:   Juntamos os dois números: 9024.

Portanto 94 x 96 = 9024.

Teorema de Pitágoras

Considerado um dos mais importantes teoremas da Matemática, o Teorema de Pitágoras foi desenvolvido por Pitágoras de Samos, filósofo grego que viveu no séc. VI a.C., fundador da mística Escola Pitágorica.



O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado no triângulo rectângulo no intuito de determinar uma das medidas quando conhecidas as outras duas.

O Teorema consiste na seguinte relação:

“A area  do quadrado da hipotenusa é igual à soma das areas dos quadrados dos catetos”

Exemplos:


1 – Determine a medida do comprimento da hipotenusa do triângulo representado pela figura a seguir:

2 – Dado o triângulo rectângulo a seguir, determine a medida de comprimento  do cateto y.

A relação dos números irracionais com o Teorema de Pitágoras consiste no cálculo da medida da diagonal do quadrado, observa:


Dado o quadrado ABCD com lados medindo 1 unidade, vamos determinar a sua diagonal. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos rectângulos, sendo assim, podemos notar que a diagonal do quadrado é a hipotenusa dos dois triângulos rectângulos. Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

Podes reparar que  √2 não possui raiz exacta, com o auxílio de uma calculadora chegaremos ao seguinte resultado 1,414213562... . Esse tipo de número não era conhecido, pois depois da vírgula não formava períodos como os racionais. Essa situação colocou em dúvida a descoberta de Pitágoras por algum tempo, pois não se tinha uma explicação definida para esse tipo de numeral, contrariando toda a teoria de representar um número através de uma relação (fracção).


Com o passar dos séculos e a evolução da Matemática, os números irracionais foram aceitos e introduzidos nos conceitos matemáticos, tornando o Teorema de Pitágoras ferramenta imprescindível nos estudos relacionados à Geometria.




Ditos Pitagóricos:

"Tudo é número"
"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste en cometê-las"
"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus"
"A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se"
"A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus"
"Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem"
"O que fala, semeia - o que escuta, recolhe"
"Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues"
"Educai as crianças e não será preciso punir os homens"







Teorema de Pitágoras


Teorema de Pitágoras

Desafios matemáticos...para descontrair das inequações

             Desafio são situações interessantes e desafiadoras, que aguçam o raciocínio do educando. É mais uma oportunidade de levar o educando a pensar logicamente. Além disso, estamos desenvolvendo no educando uma atitude positiva para enfrentar problemas e situações novas com persistência, levando-o a não desistir diante dos primeiros obstáculos.
O objectivo  dos desafios é mostrar  que é possível divertir-se com a Matemática. Muitos divertimentos clareiam e reforçam idéias matemáticas, melhorando a aprendizagem....


Vejamos, por exemplo, estes dois desafios, consegues resolver?



NUMEROS MÁGICOS

Usa a  calculadora e diverte-te. Se quiseres, convida um amigo para resolver contigo.
Pensa em qualquer número.

Por exemplo   12 356.

Escreve   um outro número usando os mesmos algarismos. Por exemplo, 61 235.

Subtrai o número menor do maior: 61 235 -12 356 = 48 879.

Soma os algarismos da diferença: 48 879 4+8+8+7+9=36.

Se o número tiver dois algarismos, soma-os: 36          3+6=9.

Tenta outro número. Depois outro, e outro...

Qual será a soma?


  


DECIFRA O ENIGMA


 ONDE DORME UM CACHORRO VADIO   DE 90 QUILOGRAMAS?
Dicas:
1ª - Os primeiros 2/6 da palavra EMBORA.
2ª - Os primeiros 4/9 da palavra QUALIDADE,
3ª-  Os primeiros 4/5 da palavra QUERO.
4ª - Os primeiros 5/8 da palavra LUGAREJO.



 Diverte-te!

fico a aguardar as vossas respostas!

Os números e os seus conjuntos

· Conjunto dos números naturais (IN)


IN={1, 2, 3, 4, 5,...}


· Conjunto dos números inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}



OBS: O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:


Z+ = conjunto dos inteiros positivos = {1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros negativos = {-1,-2,-3,-4,-5,...}






Observe que Z+=IN.






Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma recta, conforme mostra o gráfico abaixo:

· Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fracção (com o numerador e denominador pertencente ao conjunto Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as fracções positivas e negativas.



É interessante considerar a representação decimal de um número racional que se obtém dividindo a por b.

·Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são dízimas infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fracção (divisão de dois inteiros).
Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3, por exemplo:

Um número irracional bastante conhecido é o número pi   
 л =3,1415926535...






· Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:



IR=Q E {irracionais} = {x I x é racional ou x é irracional}








O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Concluímos que os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.


O conjunto dos números



O conjunto dos Números

Intervalos de números reais

Exercícios com intervalos de números reais




 intervalos de números reais



Intervalos dos números reais

Intersecção e reuniao de intervalos.

Inequações do 1º grau

Inequações do 1º grau

Exercícios com inequações do 1º grau

As Equações

 Equações do 1º grau

 

A álgebra é o ramo da matemática que relaciona os números, as variáveis (incógnitas) e as operações. Na apresentação e resolução de alguns problemas recorre-se muitas das vezes a expressões algébricas, ou seja, a expressões onde figuram letras, a par de números e operações. À igualdade entre duas expressões algébricas chamamos equação.

As equações são estudadas há muitos séculos antes de Cristo. Elas apareceram para resolver problemas do dia-a-dia e/ou para desenvolver a argúcia e a inteligência de quem os propunha e de quem os tentava resolver.


As equações não tinham o aspecto que hoje em dia apresentam. A forma actual foi o resultado de muitos séculos de evolução dos símbolos matemáticos. Só no século XVIII, Viète e Descartes introduziram a notação simbólica.

 Eis um exemplo de equações encontradas num Papiro de Rhind (1650 a. C.), copiado por um escriba egípcio de nome Ahmes a partir de um documento escrito 200 anos antes!

Exercício:

 

Pensa num número qualquer.

Calcula o dobro desse número.

Adiciona agora seis unidades.

Calcula metade do valor obtido.

Adiciona duas unidades.

Calcula a diferença entre o resultado obtido e o número pensado inicialmente.

O resultado final é cinco. Porquê ?

A justificação é dada com a ajuda das expressões algébricas.

Equações do 1º grau

Exercícios de equações do 1º grau

Exercícios com equações do 1º grau

Bem-vindos ao Blog!

Bem-vindos ao Blog!

O blog Sempre a MATHEMATICAR, ainda em construção, foi criado com o objectivo de aproximar os meus alunos aos conteúdos matemáticos de uma forma diferente.

É minha pretensão também aprender a lidar com estas novas ferramentas, para além de publicar conteúdos, exercícios, desafios...

Conto com a participação de todos, através de comentários,  sugestões ou críticas construtivas, para que em conjunto consigamos sempre melhorar em prol de um objectivo comum: a melhoria da qualidade do ensino.

Sejam bem-vindos!

Sempre a MATHEMATICAR....

A matemática é uma ciência
Que nos resolve problemas.
Se ouvires com paciência,
Falo-te dos seus vários temas.


A geometria é importante
Para várias profissões.
Já imaginaste o que seria,
Se a modista ou o arquitecto
Não tivessem essas noções?

Quando contas, quando pesas,
Quando medes com rigor,
Não usas a matemática?
Usas, sim senhor!

Ela ajuda-te a conhecer
Aquilo que nos rodeia.
Como descrever as formas,
Como as distâncias medir?
Como usar a cabeça,
Adicionar ou subtrair?

O número da tua porta,
Na escola, o teu horário
O preço da doce torta,
Para o teu aniversário.

Vai de roda, vai de círculo
Cada um com o seu par,
Quando jogas à macaca,
O que estás a desenhar?

Os golos da tua equipa,
Não te enganes a contar.
A matemática está sempre presente,
Mesmo que seja a brincar.

Para nela teres sucesso,
É preciso trabalhar.
A tarefa não é difícil,
Vamos-nos lá empenhar!

António Prisa